Saturday, 3 November 2012

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan


Soal No. 1
Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing 10 Newton seperti gambar berikut.
Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°, tentukan nilai resultan kedua vektor!
Pembahasan
Resultan untuk dua buah vektor yang telah diketahui sudutnya
Gambar perhitungan matematika resultan vektor
Soal No. 2
Dua buah vektor gaya masing – masing 8 N dan 4 N saling mengapit sudut 120°. Tentukan besar resultan kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Data:
F1 = 8 N
F2 = 4 N
α = 120°
R = ........



Catatan rumus:
cos (180° − α) =  cos α
Sehingga untuk nilai cos 120°:
cos 120° = cos (180° − 60°) = − cos 60° = − 1/2
Soal No. 3
Perhatikan gambar berikut!
 
Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukan resultan antara kedua vektor!
 
Pembahasan
Cari jumlah resultan pada sumbu x dan sumbu y, cukup dengan menghitung kotak dari masing-masing vektor, F1 adalah 30 ke kanan, 40 ke atas, sementara F2 adalah 50 ke kanan, 20 ke atas, kemudian masukkan rumus resultan:

Penyelesaian matematis jumlah vektor pada sumbu x dan sumbu y
 
Soal No.4
Diberikan 3 buah vektor F1=10 N, F2 =25 N dan F3=15 N seperti gambar berikut.
Tentukan:
a. Resultan ketiga vektor
b. Arah resultan terhadap sumbu X
 [Sin 37° = (3/5), Sin 53° = (4/5)]
 [Cos 37° = (4/5), Cos 53° = (3/5)]
 
Pembahasan
a. Ikuti langkah-langkah berikut:
1. Uraikan semua vektor ke sumbu x dan sumbu y (kecuali vektor yang sudah lurus pada sumbu x atau y seperti F2). Lihat gambar di bawah!
2. Cari jumlah vektor pada sumbu x ( kanan +, kiri -)
3. Cari jumlah vektor pada sumbu y (atas +, bawah -)
4. Masukkan rumus resultan
Vektor yang dalam perhitungan selanjutnya tidak digunakan lagi karena sudah diuraikan tadi, dihapus saja, agar kelihatan lebih bersih, sisanya seperti ini:


Jumlah komponen vektor-vektor  pada sumbu x dan  y :
Gambar perhitungan matematis metode analitik vektor

b. Mencari sudut yang terbentuk antara resultan vektor R dengan sumbu x

tan θ =  ΣFy /ΣFx 
tan θ = −7/−1 = 7
θ = arc. tan 7 = 81,87°

Thanks to PCP http://journalputrika.blogspot.com atas koreksinya :-)
Soal No. 5
Ditentukan 2 buah vektor F yang sama besarnya. Bila perbandingan antara besar jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan √3, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor! (Sumber Soal : SPMB)

Pembahasan
Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah:

Gambar rumus jumlah dan selisih dua buah vektor

Perbandingan jumlah dan selisihnya adalah √3 sehingga:



Kuadratkan ruas kiri dan kanan



Kali silang :



Soal No.6 
Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m dan kecepatan airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s, tentukan panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai! (Sumber Soal : UMPTN)
Pembahasan
Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (gunakan aturan Phytagoras). Dengan membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE :

 
Tips
"Untuk dua buah vektor dengan besar yang sama dan membentuk sudut 120o maka  resultan kedua vektor besarnya akan sama dengan besar salah satu vektor"
Berikut ilustrasinya:
 
 Gambar dua buah vektor dengan sudut 120 derajad
Dua buah vektor dengan besar yang sama yaitu 10 N membentuk sudut 120o maka nilai resultan kedua vektor juga 10 N. 
 
Berikut contoh soal diambil dari soal EBTANAS (UN tempo dulu, zaman kakak-kakak kita) tahun 2000.
 
Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini! 
 
 Gambar 3 buah vektor dengan sudut 60 derajad
 
Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah....
A. 2,0 N
B. 2 √3 N
C. 3,0 N
D. 3 √3 N
E. 4√3 N
 
Pada soal di atas 2 buah vektor (gaya) 3 N membentuk sudut 120o, sehingga resultan kedua gaya  juga 3 N. Resultan kedua gaya ini akan segaris dengan gaya 6 N, namun berlawanan arah. Sehingga dengan mudah soal ini bisa dijawab resultan ketiga gaya adalah 6 N dikurangi 3 N hasilnya adalah 3 N.

Soal No. 7
Diberikan 3 buah vektor :
a = 2i + 3j satuan
b = 4i + 5j satuan
c = 6i + 7j satuan
Tentukan besar resultan ketiga vektor, dan kemiringan sudut antara resultan dan sumbu X

Data:
Gambar solusi 3 buah vektor dalam i dan j

Soal No. 8
Diberikan 3 buah vektor abc seperti gambar di bawah.

Gambar 3 buah vektor a,b c dengan arahnya

Dengan metode poligon tunjukkan :
(i) d = a + b + c
(ii) d = a + b − c
(iii) d = a − b + c
Pembahasan
Dengan metode poligon :
(i) d = a + b + c

Pembahasan vektor poligon (1)

(ii) d = a + b − c

Pembahasan vektor poligon (2)

(iii) d = a − b + c


Pembahasan vektor poligon (3)
Soal No. 9
Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan,   B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari:
a) A⋅ B
b) A × B

Pembahasan
a) A⋅ B adalah perkalian titik (dot) antara vektor A dan vektor B
Untuk perkalian titik berlaku
A⋅ B = A B cos θ
Sehingga
A⋅ B = A B cos 37° = (8)(10)(0,8) = 64 satuan

b) A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B
Untuk perkalian silang berlaku
A × B = A B sin θ
Sehingga
A × B = A B sin 37° = (8)(10)(0,6) = 48 satuan
Soal No. 10Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan...
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 12
Sumber: Soal UMPTN Tahun 1991

Pembahasan
Soal ini adalah soal penerapan perkalian titik (dot product ) antara vektor gaya F dan vektor perpindahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan j atau vektor satuan. Besaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar (usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tanpa arah). Usaha dilambangkan dengan W dari kata work.
W = F ⋅ r
26 = (2i + 3j)⋅ (4i + aj)

Cara perkalian titik  dua vektor  dalam bentuk i,j adalah yang i kalikan i, yang j kalikan j, hingga seperti berikut
26 = 8 + 3a
3a = 26 − 8
a = 18/3 = 6
i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya adalah satu.
Bagaimana cara perkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan j ? ntar kita tambahkan,...IA
Soal No. 11
Diberikan dua buah vektor masing-masing:
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k
Tentukan hasil dari A × B

Pembahasan
Perkalian silang, A × B
Cara pertama:
Misal :
A = (Ax i + Ay + Az k) dan B = (Bx i + By j + Bz k)

maka :
A × B = (Ay Bz − Az Byi + (Az Bx − Ax Bzj + (Ax By − Ay Bxk
                                            ↑
Rumus Perkalian Silang Dua Vektor (cross product ) dalam i, j, k

Data :
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k
Ax = 4
Ay = 3
Az = − 2
Bx = 7
By = 2
Bz = 5
maka
A × B = (Ay Bz − Az Byi + (Az Bx − Ax Bzj + (Ax By − Ay Bxk
A × B = [(3)(5) − (−2)(2)] i + [(−2)(7) − (4)(5)]j + [(4)(2) − (3)(7)] k
A × B = (15 + 4)i + (−14 − 20)j + (8 − 21)k
A × B = 19 i −34 j − 13k

Cara Kedua:
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k
Susun dua vektor di atas hingga seperti bentuk berikut:

Untuk mempermudah perkalian, tambahkan dua kolom di sebelah kanan susunan yang telah dibuat tadi hingga seperti berikut:

Beri tanda plus dan minus, ikuti contoh berikut:


Kalikan menyilang ke bawah terlebih dahulu dengan memperhatikan tanda plus minus yang telah dibuat, lanjutkan dengan menyilang ke atas,
A × B = (3)(5) i + (−2)(7) j + (4)(2)k − (7)(3)k − (2)(−2) i − (5)(4) j
A × B = 15 i −14 j + 8 k − 21k + 4 i − 20j
A × B = (15 + 4) i + (− 14 − 20) j + (8 − 21) k
A × B = 19 i − 34 j − 13 k


Read more: http://fisikastudycenter.com/fisika-x-sma/5-vektor#ixzz2BADq9wp1

2 comments:

Pages - Menu